Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Al terminar el quinto día, se han realizado $20$ de las $28$ partidas del torneo. Vamos a representar a los maestros como los vértices de un octógono regular y vamos a unir los que aún no se han enfrentado por un segmento (una diagonal o un lado del octógono). De cada vértice salen exactamente dos segmentos, luego si seguimos las líneas poligonales que así se forman tendremos una o varias poligonales cerradas de al menos tres vértices y que usan los ocho vértices. En realidad, no puede haber polígonos de $3$ lados ya que eso querría decir que en los días 6 y 7 deben enfrentarse 3 maestros entre sí (esto es absurdo ya que uno forzosamente debería descansar uno de los días mientras juegan los otros dos). Por tanto, las poligonales tienen que tener 4 u 8 vértices cada una. Distingamos los dos casos:

• Si una de las poligonales tiene vértices $M_1,M_2,M_3,M_4$ y la otra $M_5,M_6,M_7,M_8$ (en este orden), entonces es que los maestros pares $M_2,M_4,M_6,M_8$ (y también los impares $M_1,M_3,M_5,M_7$) se han enfrentado todos con todos en los primeros cinco días.
• Si hay sólo una poligonal de vértices $M_1,M_2,\ldots,M_8$ (en este orden), también ocurre que los pares (y los impares) se han enfrentado todos con todos en los primeros cinco días.