Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Sea $s\geq 2$ un entero. Tomando $n=3s-2$ obtenemos $\frac{n-1}{n+2}=\frac{3s-3}{3s}=\frac{s-1}{s}$ y sumando esta fracción consigo misma $s-1$ veces obtenemos el número racional $\frac{(s-1)^2}{s}=s-2+\frac{1}{s}$. Ahora bien, para $n=0$ obtenemos el número $\frac{n-1}{n+2}=\frac{-1}{2}$ que, sumado al anterior $2(s-2)$ veces, nos dice que podemos conseguir $\frac{1}{s}$. Cualquier fracción de denominador $s$ se puede obtener sumando esta consigo misma y con $\frac{-1}{2}$ repetidas veces. Nótese que los números enteros (que tienen denominador $1$) también se pueden obtener de esta manera para cualquier $s$.