Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Fijado un valor de $y$, si podemos elegir $x$ para que $xf(y)+y=xy$, entonces se deduce claramente de la ecuación funcional que debe ser $f(y)=0$. Ahora bien, la ecuación $xf(y)+y=xy$ tiene solución si y solo si $f(y)\neq y$. Por lo tanto, tiene que ser $f(y)=y$ o bien $f(y)=0$.

Es fácil darse cuenta también de que la función idénticamente nula y la función identidad son soluciones de la ecuación. Sin embargo, el problema es que para algunos valores de $y$ puede ser $f(y)=y$ y para otros ser $f(y)=0$. Para ver que esto no ocurre, supongamos que $a\neq 0$ es tal que $f(a)=0$. Tomando $y=a$ en la ecuación, tenemos que el miembro de la derecha es igual a $f(xf(a)+a)=f(0+a)=f(a)=0$ y el de la izquierda igual a $f(ax)$. Deducimos que $f(ax)=0$ para todo $x\in\mathbb{R}$, lo que nos lleva a que es idénticamente nula y hemos terminado.