Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El miembro de la derecha toma todos los valores reales posibles, luego está claro que $f$ debe ser sobreyectiva. En particular, existe $x_0\in\mathbb{R}$ tal que $f(x_0)=0$ (por ejemplo, para $x=y=0$, podríamos tomar $x_0=f(f(f(f(0))))$ y cumpliría que $f(x_0)=0$). Sustituyendo $x=x_0$ en la ecuación nos quedaría \[f(x_0+f(y+f(x_0+f(y))))=3x_0+2y.\] Sumando $y$ a ambos miembros y volviendo a aplicar $f$, tenemos que \[f(y+f(x_0+f(y+f(x_0+f(y)))))=f(y+3x_0+2y)=f(3y+3x_0).\] Ahora bien, al miembro de la izquierda en esta igualdad se le puede aplicar la ecuación funcional del enunciado (cambiando $x\mapsto y$ y $y\mapsto x_0$). Esto nos dice que \[3y+2x_0=f(y+f(x_0+f(y+f(x_0+f(y)))))=f(y+3x_0+2y)=f(3y+3x_0).\] Finalmente, haciendo el cambio $t=3y+3x_0$, obtenemos que \[f(t)=t-x_0,\qquad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.\] Sin embargo, esta función cumple la ecuación inicial solo cuando $x_0=0$, de donde deducimos que la identidad $f(t)=t$ para todo $t\in\mathbb{R}$ es la única solución al problema.