Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La primera condición nos está diciendo que $ABC$ y $XYZ$ son triángulos semejantes y además esta semejanza es directa (no invierte la orientación) ya que en ambos triángulos los vértices están etiquetados en el mismo orden. Ahora bien, una semejanza directa se puede descomponer como composición de una homotecia y una rotación, ambas con el mismo centro. Llamaremos $O$ a dicho centro, $\lambda$ a la razón de la homotecia y $\theta$ al ángulo de rotación. Esto nos dice que en el triángulo $OAX$ se cumple que $\angle AOX=\theta$ y $OX=\lambda OA$. Podemos resolver usando el teorema del coseno \[AX^2=OA^2+(\lambda OA)^2-2\lambda OA^2\cos\theta=OA^2(\lambda^2+1-2\lambda \cos\theta).\] De la misma forma, tenemos que \[BY^2=OB^2(\lambda^2+1-2\lambda \cos\theta),\qquad CZ^2=OC^2(\lambda^2+1-2\lambda \cos\theta).\] Ahora bien, como $-1\leq\cos\theta\leq 1$, tenemos que $\lambda^2+1-2\cos\theta\geq\lambda^2+1-2\lambda=(\lambda-1)^2\geq 0$ y la igualdad se da únicamente cuando $\lambda=1$ y $\theta=0$, pero en tal caso no hay rotación y los triángulos $ABC$ y $XYZ$ tendrían sus lados paralelos en contra de lo que se afirma en el enunciado. Tenemos, por tanto que $\lambda^2+1-2\lambda \cos\theta\neq 0$, luego la igualdad $AX=BY=CZ$ se traduce en $OA=OB=OC$, es decir, el centro de semejanza $O$ es el circuncentro de $ABC$. Como la semejanza lleva la circunferencia circunscrita a $ABC$ en la circunferencia circunscrita a su homólogo $XYZ$, concluimos que $O$ también es el circuncentro de $XYZ$.