Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Sea $i(p)$ la función que devuelve los ingresos en términos del precio $p$ por unidad. El número de bicicletas vendidas en función de $p$ viene dado por $\frac{3900-3p}{7}$ (es una función lineal de la forma $ap+b$, donde $a=-\frac{3}{7}$ ya que debe aumentar/disminuir $3$ unidades si $p$ disminuye/aumenta $7$ euros y $b$ se ajusta para que $600a+b=300$). De esta manera, tenemos que $i(p)=\frac{3900-3p}{7}p$ es igual al número de unidades vendidas multiplicado por el precio de la unidad.

Podemos completar el cuadrado para expresar \[i(p)=\tfrac{-3}{7}(p^2-1300p)=\tfrac{3}{7}650^2-\tfrac{3}{7}(p-650)^2.\] Por tanto, los ingresos serán máximos cuando $(p-650)^2$ sea mínimo, es decir, para $p=650$, en cuyo caso los ingresos máximos vendrán dados por $\tfrac{3}{7}650^2$ euros, respondiendo así al apartado (b). En cuanto al apartado (a), la respuesta es afirmativa puesto que la función $i(p)$ es creciente en el intervalo $(0,650)$ y, en particular, en el precio inicial $p=600$.

Nota. La última parte se puede analizar también con la derivada. Probablemente, el ejercicio original estaba pensado para hacerse con una derivada.