Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Pongamos que la hipotenusa del triángulo mide $a$ y los catetos $b$. En un triángulo rectángulo la circunferencia circunscrita tiene a la hipotenusa por diámetro, luego el radio de la circunferencia circunscrita es $R=\frac{a}{2}$. Por otro lado, el área del triángulo es $S=\frac{b^2}{2}$, pero también puede calcularse como $S=pr$, donde $r$ es el radio de la circunferencia inscrita y $p=\frac{1}{2}(a+2b)$ el semiperímetro. Podemos despejar entonces $r=\frac{b^2}{2p}=\frac{b^2}{a+2b}$. Usando el teorema de Pitágoras podemos finalmente calcular \begin{align*} R+r&=\frac{a}{2}+\frac{b^2}{a+2b}=\frac{a^2+2ab+2b^2}{2a+4b}\\ &=\frac{4b^2+2ab}{2a+4b}=b. \end{align*}

Nota. Un cálculo similar muestra que si el triángulo rectángulo no es necesariamente isósceles, entonces $R+r=\frac{b+c}{2}$, donde $b$ y $c$ son las longitudes de los catetos.