Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Ordenamos los cuatro dígitos como $a\leq b\leq c\leq d$ (la forma de ordenarlos no afecta a la suma ni al producto) y supongamos que $a+b+c+d\geq abcd$. Si algunos de estos dígitos son cero, se tiene claramente la desigualdad estricta (ya que la suma de los dígitos no puede ser cero). Hay $9^4=6561$ números con los cuatro dígitos distintos de cero, luego $9000=6561=2439$ en los que alguno de los dígitos es cero.

Supongamos ahora que ningún dígito es cero. No puede ser $b\geq 2$ ya que en tal caso se tendría que $abcd\geq bcd\geq 4d\geq a+b+c+d$ y la igualdad no se alcanza pues tendría que ser $a=1$ (en la primera desigualdad) y $a=b=c=d$ (en la última), lo cual es incompatible con $b\geq 2$. Deducimos así que $a=b=1$, lo que nos deja con la desigualdad $2+c+d\geq cd$, que se escribe de forma equivalente como $(c-1)(d-1)\leq 3$.

• Si $c=1$, entonces $d$ puede ser cualquier número entre $1$ y $9$, lo que nos da la solución 1111 además todos los números que son permutación de $111d$. Esto nos da un total de $1+8\cdot 4=33$ soluciones en las cuales no se da nunca la igualdad.
• Si $c=2$, entonces $d$ puede ser 2, 3 o 4 y con el 4 se da la igualdad. Esto nos da 6 soluciones que son permutación de 1122, 12 soluciones que son permutación de 1123 y 12 soluciones que son permutación de 1124. Esto hace un total de 30 soluciones y solo en 12 de ellas se da la igualdad.
• Si $c\geq 3$ ya no hay ninguna solución pues tendría que ser $d\geq 3$.

Recapitulando, tenemos $2439+33+30=2502$ soluciones y solamente en $12$ de ellas se obtiene la igualdad.