Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos calcular \begin{align*} f^2(x)&=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b,\\ f^3(x)&=a^2(ax+b)+ab+b=a^3x+a^2b+ab+b,\\ f^4(x)&=a^3(ax+b)+a^2b+ab+b=a^4x+a^3b+a^2b+ab+b,\ldots \end{align*} De esta forma, es claro (se puede probar muy fácilmente por inducción) que aplicar la función $2000$ veces resulta en la función lineal \[f^{2000}(x)=a^{2000}x+(a^{1999}+a^{1998}+\ldots+a+1)b.\] Para que la función sea igual a la identidad para todo valor de $x$, tiene que ser el coeficiente de $x$ igual a $1$ y el término independiente $0$ (igualdad de polinomios). La condición $a^{2000}=1$ nos lleva a que $a=\pm 1$:

• Si $a=1$, entonces el término independiente es $2000b$, luego tiene que ser $b=0$.
• Si $a=-1$, entonces el término independiente es automáticamente cero.

Esto nos dice que las funciones que buscamos son $f(x)=x$ y $f(x)=-x+b$ para cualquier $b\in\mathbb{R}$.

Nota. El resultado es cierto cambiando $2000$ por cualquier número par. Si lo cambiamos por un número impar, entonces la única solución es la identidad $f(x)=x$.