Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La situación es como se indica en la figura. Como dentro del mismo medio (agua o tierra) la menor distancia la realiza la línea recta, el camino óptimo recorrerá un trayecto rectilíneo en agua y otro rectilíneo en tierra (podemos suponer que el trayecto sobre el agua se realiza al principio sin perder generalidad). En cualquier caso, llamando a $x$ la distancia indicada en la figura, recorreremos $500-x$ en tierra y $\sqrt{10000+x^2}$ por agua según el teorema de Pitágoras. Dados los costes del enunciado, la función que nos da el coste total viene dada por \[f(x)=9(500-x)+15\sqrt{10000+x^2}.\] El mínimo de esta función se puede obtener haciendo $f'(x)=0$, pero vamos a razonar sin derivadas. Para ello, vamos a considerar la ecuación $f(x)=a$ para cierto valor $a$. Podemos desarrollar \begin{align*} f(x)=a&\ \Leftrightarrow\ 4500-9x-a=15\sqrt{10000+x^2}\\ &\ \Leftrightarrow\ (4500-9x-a)^2=225(10000+x^2). \end{align*} Desarrollando y usando la fórmula para la ecuación de segundo grado, tenemos que \[x=\frac{3a-13500\pm 5\sqrt{18810000-9000a+a^2}}{48}.\] Esta expresión nos dice que habrá valores de $x$ tales $f(x)=a$ si $18810000-9000a+a^2=(a-3300)(a-5700)\geq 0$. Como $a\leq 3300$ nos da valores negativos de $x$, deducimos de esta desigualdad que $a\geq 5700$, lo que nos da $x\geq 75$ para la solución de la ecuación de segundo grado con signo $+$. En definitiva, el valor mínimo ocurre para $x=75$ y su coste es $5700$ euros. Esto nos da una longitud (en metros) de \[500-x+\sqrt{100^2+x^2}=425+\sqrt{100^2+75^2}=425+25\sqrt{4^2+3^2}=550.\]