Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $P =\{p_1, p_2,\ldots, p_{10}\}$ un conjunto de $10$ primos distintos y sea $A$ el conjunto de todos los enteros mayores que $1$ tales que en su descomposición en factores primos aparecen únicamente primos de $P$. Los elementos de $A$ se colorean de tal forma que:

• cada elemento de P tiene un color distinto;
• si $m,n\in A$, entonces $mn$ tiene el mismo color que $m$ o $n$;
• para cualquier par de colores distintos $R$ y $S$, no existen $j,k,m,n\in A$ (no necesariamente distintos), con $j$ y $k$ de color $R$ y $m$ y $n$ de color $S$, tales que $j$ divide a $m$ y $n$ divide a $k$, simultáneamente.

Demostrar que existe un primo de $P$ tal que todos sus múltiplos en $A$ tienen el mismo color.