Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 632
Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Demostrar que si existe un entero $k\geq 2$ tal que ninguno de los enteros $P(1),P(2),\ldots,P(k)$ es divisible por $k$, entonces $P(x)$ no tiene raíces enteras.
pistasolución 1info
Pista. Demuestra equivalentemente que, si $P(x)$ tiene alguna raíz entera (es decir, $P(x)=(x-\alpha)Q(x)$ para algún entero $\alpha$), entonces alguno de los enteros $P(1),P(2),\ldots,P(k)$ es divisible por $k$.
Solución. Vamos a probar el contrarrecíproco, es decir, si $P(x)$ tiene alguna raíz entera $\alpha$, entonces alguno de los enteros $P(1),P(2),\ldots,P(k)$ es divisible por $k$. Que $\alpha\in\mathbb{Z}$ sea raíz quiere decir que $P(x)=(x-\alpha)Q(x)$. Ahora bien, debe existir un entero $j$ tal que $1\leq j\leq k$ y $j\equiv \alpha\ (\text{mod }k)$. Evaluando en este entero, tenemos que $P(j)=(j-\alpha)Q(j)$ es múltiplo de $k$ ya que $j-\alpha$ lo es.
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