Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Podemos ver el sistema como un sistema de ecuaciones con incógnitas $b$ y $c$ en el que conocemos su suma y su producto. Esto equivale a que $b$ y $c$ son las soluciones de la ecuación de segundo grado \[0=(x-b)(x-c)=x^2-(b+c)x+bc=x^2-adx+a+d.\] Dado que $b\lt c$, podemos calcular estas soluciones como \[b=\frac{ad-\sqrt{a^2d^2-4a-4d}}{2},\qquad c=\frac{ad+\sqrt{a^2d^2-4a-4d}}{2}.\] Como se trata de números enteros positivos, tenemos que $a^2d^2-4a-4d$ tiene que ser un cuadrado perfecto. Como es menor que $(ad)^2$, tendrá que ser menor o igual que $(ad-1)^2=a^2d^2-2ad+1$, es decir, \[a^2d^2-4a-4d\leq a^2d^2-2ad+1\ \Leftrightarrow\ ad-2a-2d\leq 1\ \Leftrightarrow\ (a-2)(d-2)\leq 5.\] Ahora bien, $d$ tiene que ser al menos tres unidades mayor que $a$ para que se cumpla que $a\lt b\lt c\lt d$. Con esto en mente, la desigualdad $(a-2)(d-2)\leq 4$ implica que $a\leq 3$ (si $a\geq 4$, entonces $d\geq 7$ y $(a-2)(d-2)\geq 10$).

Repitiendo todo el razonamiento anterior con $b$ y $c$ en lugar de $a$ y $d$, tenemos que $b\leq 3$. Como $a\lt b$. Esto da lugar a tres casos:

• Si $(a,b)=(1,2)$, el sistema inicial se escribe como $d=c+2$ y $2c=1+d$. Este sistema tiene solución única $(c,d)=(3,5)$.
• Si $(a,b)=(1,3)$, el sistema inicial se escribe como $d=c+3$ y $3c=1+d$, que tiene solución única $(c,d)=(2,5)$, pero no cumple que $b\lt c$.
• Si $(a,b)=(2,3)$, el sistema inicial se escribe como $2d=c+3$ y $3c=2+d$, que tiene solución única $(c,d)=(\frac{7}{5},\frac{11}{5})$, que no son números enteros.

Tenemos así que la única solución al problema es $(a,b,c,d)=(1,2,3,5)$.