Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamamos $S=a_1+\ldots+a_n+b_1+\ldots+b_n$. Al cambiar de signo el elemento que está en la fila $i$ y la columna $j$, tenemos que $a_i$ y $b_j$ cambian de signo. Distingamos dos casos:

• Si $a_i$ y $b_j$ son los dos positivos, entonces pasan a ser los dos negativos y $S$ decrece $4$ unidades.
• Si $a_i$ y $b_j$ son los dos negativos, entonces pasan a ser los dos positivos y $S$ crece $4$ unidades.
• Si $a_i$ y $b_j$ tienen signos opuestos, entonces siguen teniendo signos opuestos y $S$ permanece igual.

De esta manera el resto de $S$ módulo $4$ no cambia si vamos cambiando de signo elementos de la tabla. Podemos pasar de una configuración inicial con todo unos (en la que $S=2n$) a cualquier otra configuración cambiando signos, luego se tiene que $S\equiv 2n\ (\text{mod }4)$. Para $n=2019$, esto nos dice que $S\equiv 2\ (\text{mod }4)$, luego no puede ser $S=0$, lo que responde de forma negativa a la primera pregunta.

Si $n=2020$, lo anterior no concluye nada ya que $2020\cdot 2=4040\equiv 0\ (\text{mod }4)$. Sin embargo, en este caso sí que puede ser $S=0$. Una forma de hacerlo es poner todos positivos en la tabla excepto la mitad de los elementos de una de las diagonales principales.