Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. En primer lugar, vamos a desarrollar los factores que aparecen en ese producto para obtener una expresión más sencilla. Observamos que \begin{align*} C_{m+i}-C_k&=(m+i+1)(m+i)-(k+1)k\\ &=(m+i)^2-k^2+m+i-k\\ &=(m+k+i)(m-k+i)+m-k+i\\ &=(m+k+i+1)(m-k+i). \end{align*} Por lo tanto, podemos agrupar factores para expresar \begin{align*} &\frac{(C_{m+1}-C_k)\cdots(C_{m+n}-C_k)}{C_1C_2\cdots C_n}\\ &\quad=\frac{(m+k+2)(m-k+1)\cdots(m+k+n+1)(m-k+n)}{1\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdots n(n+1)}\\ &\quad=\frac{(m+k+2)\cdots(m+k+n+1)(m-k+1)\cdots(m-k+n)}{n!(n+1)!}\\ &\quad=\frac{1}{m+k+1}\binom{m+k+n+1}{n+1}\binom{m-k+n}{n}. \end{align*} Los números combinatorios son enteros pero falta por ver que alguno de ellos es divisible por el primo $m+k+1$. Claramente lo es el primero de ellos dado que en \[\binom{m+k+n+1}{n+1}=\frac{(m+k+1)(m+k+2)\cdots(m+k+n+1)}{(n+1)!}\] el numerador es múltiplo de $m+k+1$ y el denominador no lo es ya que $n+1\lt m+k+1$ por hipótesis.