Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Observemos que la ecuación se puede escribir como \[(m-k)(n-k)=k^2.\] Si suponemos que $m\leq n$, como los divisores de $k^2$ son $\pm 1$, $\pm k$ y $\pm k^2$, tendrá que darse alguna de las siguientes posibilidades:

• $m-k=-k^2$, $n-k=-1$, de donde $m=k-k^2$ e $n=k-1$,
• $m-k=-k$, $n-k=-k$, de donde $m=n=0$,
• $m-k=1$, $n-k=k^2$, de donde $m=k+1$ e $n=k^2+k$,
• $m-k=k$, $n-k=k$, de donde $m=n=2k$.

Esto nos da la siguientes seis posibilidades para el par $(m,n)$: \begin{align*} &(k-k^2,k-1),&&(k-1,k-k^2),&&(0,0),&\\ &(k+1,k^2+k),&&(k^2+k,k+1),&&(2k,2k).& \end{align*}

Nota. Este fue el problema 4 de la fase nacional de la Olimpiada Matemática Española de 1995.