Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos que $P(x)$ cumple la propiedad del enunciado y lleguemos a una contradicción. Como $P(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros, $a-b$ divide a $P(a)-P(b)=b-c$. De la misma forma, $b-c$ divide a $P(b)-P(c)=c-a$ y $c-a$ divide a $P(c)-P(a)=a-b$. Esto nos da la cadena de desigualdades \[|a-b|\leq|b-c|\leq|c-a|\leq|a-b|,\] de donde $|a-b|=|b-c|=|c-a|$. Si suponemos que $a\lt b\lt c$ sin perder generalidad, esto nos dice que $b-a=c-b=c-a$ y, claramente se deduce que $a=b=c$, lo cual es una contradicción.