Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 640
Dado un triángulo $OMA$, en los lados $OM$ y $OA$ se construyen cuadrados (en el exterior del triángulo) $OXYM$ y $OAUV$, respectivamente.
- Probar que el segmento $XV$ mide el doble de la mediana trazada desde el vértice $O$.
- Probar que las rectas que contienen a la mediana y al segmento $XV$ son perpendiculares.
pistasolución 1info
Pista. Rota $90^\circ$ el triángulo $OXV$ de forma que $X$ coincida con $M$. Resuelve el problema transformándolo en otro problema en el triángulo $AMV'$, donde $V'$ es el punto rotado de $V$.
Solución. Aplicamos una rotación de $90^\circ$ al triángulo $OXV$ de forma que $X'=M$ (como es usual denotamos con un apóstrofe a los puntos después de aplicarles la rotación). Está claro que se forma un nuevo triángulo $AV'X'$ de forma que $O$ es el punto medio del lado $AV'$. En este triángulo, $O$ es el punto medio del lado $AV'$. Si denotamos por $N$ al punto medio de $AM$, tenemos que $AON$ y $AV'M$ están en posición de Thales y son semejantes con razón de semejanza $\frac{1}{2}$. En particular,
- $XV=X'V'=MV'=2ON$, lo que responde al apartado (a).
- $ON$ es paralela a $X'V'$, luego es perpendicular a $XV$ (que es rotada de $X'V'$ un ángulo recto), lo que responde al apartado (b).
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