Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 641
Sean $x,y\geq 0$ números reales verificando $x + y = 2$. Demuestra que
\[x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2.\]
pistasolución 1info
Pista. Sustituye $x=1+t$ e $y=1-t$, siendo $0\leq t\leq 1$.
Solución. Sustituyendo $x=1+t$ e $y=1-t$ para $t\in[0,1]$, tenemos que
\begin{align*}x^2y^2(x^2+y^2)&=(1+t)^2(1-t)^2((1+t)^2+(1-t)^2)\\
&=2(1-t^2)^2(1+t^2)=2(1-t^2)(1-t^4)\leq 2.\end{align*}
Nota. La igualdad se alcanza si y solo si $t=0$, es decir, cuando $x=y=1$.
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