Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $X$ e $Y$ los pies de las perpendiculares al lado $BC$ desde $A$ y $D$, respectivamente y vamos a probar que $BX=BY$. En los triángulos $ABX$ y $ACX$, tenemos que \[\tan(60^\circ)=\frac{AX}{BX},\qquad \tan(80^\circ)=\frac{AX}{CX}=\frac{AX}{BC-BX}.\] Igualando $AX$ en ambas igualdades, podemos despejar \[\frac{BX}{BC}=1+\frac{\tan(60^\circ)}{\tan(80^\circ)}.\] Razonando de forma similar en los triángulos $ABY$ y $ACY$, obtenemos \[\frac{BY}{BC}=1+\frac{\tan(40^\circ)}{\tan(70^\circ)},\] por lo que simplemente tenemos que comprobar que \[\frac{\tan(60^\circ)}{\tan(80^\circ)}=\frac{\tan(40^\circ)}{\tan(70^\circ)}\ \Longleftrightarrow\ \tan(60^\circ)\tan(70^\circ)=\tan(40^\circ)\tan(80^\circ)\] y habremos terminado. Por las identidades de factorización (véase la nota), tenemos que: \[\tan(60^\circ)\tan(70^\circ)=\frac{\mathrm{sen}(60^\circ)\mathrm{sen}(70^\circ)}{\cos(60^\circ)\cos(70^\circ)}=\frac{\cos(10^\circ)-\cos(130^\circ)}{\cos(10^\circ)+\cos(130^\circ)}=\frac{1-\frac{\cos(130^\circ)}{\cos(10^\circ)}}{1+\frac{\cos(130^\circ)}{\cos(10^\circ)}}\] y análogamente \[\tan(40^\circ)\tan(80^\circ)=\frac{\mathrm{sen}(40^\circ)\mathrm{sen}(80^\circ)}{\cos(40^\circ)\cos(80^\circ)}=\frac{\cos(40^\circ)-\cos(120^\circ)}{\cos(40^\circ)+\cos(120^\circ)}=\frac{1-\frac{\cos(120^\circ)}{\cos(40^\circ)}}{1+\frac{\cos(120^\circ)}{\cos(40^\circ)}}.\] Por lo tanto, será suficiente comprobar que \[\frac{\cos(130^\circ)}{\cos(10^\circ)}=\frac{\cos(120^\circ)}{\cos(40^\circ)}\ \Longleftrightarrow\ \cos(130^\circ)\cos(40^\circ)=\cos(10^\circ)\cos(120^\circ).\] De nuevo por las identidades de factorización, tenemos que \[\cos(130^\circ)\cos(40^\circ)=\frac{\cos(170^\circ)+\cos(90^\circ)}{2}=\frac{-1}{2}\cos(10^\circ)=\cos(10^\circ)\cos(120^\circ),\] donde hemos usado que $\cos(90^\circ)=0$, $\cos(170^\circ)=-\cos(10^\circ)$ y $\cos(120^\circ)=\frac{-1}{2}$. Esto concluye la demostración según los razonamientos previos.

Nota. Hemos utilizado las conocidas identidades de factorización \begin{align*} \mathrm{sen}(x)\,\mathrm{sen}(y)&=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2},\\ \cos(x)\cos(y)&=\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}, \end{align*} que se deducen fácilmente de desarrollar los miembros de la derecha mediante las fórmulas del seno y coseno de la suma y la diferencia.