Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Escribimos la ecuación funcional del apartado para todos los números pares desde $n=0$ hasta $n=2k$. Obtenemos así las siguientes ecuaciones \begin{align*} f(2)-f(0)&=6&&=6+8\cdot 0\\ f(4)-f(2)&=14&&=6+8\cdot 1\\ f(6)-f(4)&=22&&=6+8\cdot 2\\ &\ \vdots\\ f(2k+2)-f(2k)&=8k+6&&=6+8\cdot k \end{align*} Sumando estas $k+1$ ecuaciones se cancelan casi todos los términos de las partes izquierdas (suma telescópica) y nos queda \[f(2k+2)-f(0)=6(k+1)+8(0+1+\ldots+k)=6(k+1)+4k(k+1)=(2k+2)(2k+3).\] Hacemos ahora el mismo razonamiento con las $k$ ecuaciones que se obtienen desde $n=1$ hasta $n=2k-1$, que están dadas por \begin{align*} f(3)-f(1)&=10&&=10+8\cdot 0\\ f(5)-f(3)&=18&&=10+8\cdot 1\\ f(7)-f(5)&=26&&=10+8\cdot 2\\ &\ \vdots\\ f(2k+1)-f(2k-1)&=8k+2&&=10+8\cdot (k-1) \end{align*} Sumando obtenemos que \[f(2k+1)-f(1)=10k+8(0+1+2+\ldots+(k-1))=10k+4(k-1)k=(2k+3)2k.\] Si llamamos $a=f(0)$ y $b=f(1)$, podemos expresar la función como \[f(n)=\begin{cases} n(n+1)+a&\text{si }n\text{ es par},\\ (n-1)(n+2)+b&\text{si }n\text{ es impar}. \end{cases}\] Observamos además que $f(n)\geq 0$ para todo $n\geq 0$ precisamente cuando $a\geq 0$ y $b\geq 0$. Calculamos finalmente $f(2022)=2022\cdot 2023+a$ y $f(2021)=2020\cdot 2022+b$, luego debe cumplirse que \[4044=f(2022)-f(2021)=2022\cdot 2023+a-2020\cdot 2023-b\ \Leftrightarrow\ b=2+a.\] Esto nos dice que las soluciones al problema son las funciones \[f(n)=\begin{cases} n(n+1)+a&\text{si }n\text{ es par},\\ (n-1)(n+2)+2+a&\text{si }n\text{ es impar}, \end{cases}\] para todo $a\geq 0$ (se comprueba que todas ellas cumplen las condiciones).