Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $Q$ al punto medio de $BC$ y $M$ al pie de la perpendicular desde $N$ al lado $BC$. Escribiremos por comodidad $a=BC$ y $x=BP$. Pongamos además, sin pérdida de generalidad, que $P$ está más cerca de $B$ que de $C$, es decir, que $x\leq\frac{a}{2}$. Como $M_1$ es el punto medio de $BP$, tenemos que $BM_1=M_1P=\frac{x}{2}$. Como $N$ es el punto medio de $AP$ y los segmentos $NM$ y $AQ$ son paralelos, el teorema de Thales nos dice que $PM=MQ=\frac{1}{2}(\frac{a}{2}-x)=\frac{a}{4}-\frac{x}{2}$. También tenemos que $QM_2=QC-M_2C=\frac{a}{2}-\frac{a-x}{2}=\frac{x}{2}$ y de todo esto deducimos que \begin{align*} M_1M&=M_1P+PM=\frac{x}{2}+\left(\frac{a}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{a}{4},\\ MM_2&=MQ+QM_2=\left(\frac{a}{4}-\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{2}=\frac{a}{4}. \end{align*} Obtenemos así que $M$ es el punto medio de $M_1M_2$. El área del trapecio es la base media $MN$ (que es igual a $\frac{AQ}{2}$ por el mismo teorema de Thales anterior) por la altura $M_1M_2=\frac{a}{2}$, luego $M_1M_2N_2N_1$ tiene área $\frac{1}{2}(\frac{a\cdot AQ}{2})$, que es claramente la mitad del área de $ABC$.