Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pongamos un diámetro cualquiera que deje a $2n$ personas a un lado y las otras $2n$ personas en otro y supongamos que no hay el mismo número de hombres que de mujeres en los semicírculos así determinados (si los hubiera, habríamos terminado). Rotando este diámetro respecto del centro del círculo, cada vez que sale una persona de uno de los semicírculos entra otra, cambiando el número de hombres en uno de los ellos en $-1$ (si sale un hombre y entra una mujer), $0$ (si sale una persona del mismo género que entra) o $1$ (si entra un hombre y sale una mujer. Cuando el diámetro da media vuelta al círculo, los semicírculos originales se han cambiado uno por el otro, luego, si había $k\gt n$ hombres en uno de ellos, después de la media vuelta hay $2n-k\lt n$ hombres. Como el número de hombres en este semicírculo va variando de uno en uno, necesariamente habrá un diámetro intermedio en el que exactamente haya $n$ hombres en dicho semicírculo (y, por tanto, $2n-n=n$ mujeres) y lo mismo ocurre en el otro semicírculo.