Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 648
Un número natural $n\lt 1000$ se dice $4$-malagueño si tiene la siguiente propiedad:
Para cualquier múltiplo $N$ de $n$ con cuatro cifras, pongamos $N = \overline{abcd}$, se verifica que todas las permutaciones circulares de $N$ ($N' = \overline{bcda}$, $N'' = \overline{cdab}$, $N''' = \overline{dabc}$) también son múltiplos de $n$. Por ejemplo, $11$ es un número $4$-malagueño.
Determina todos los números $4$-malagueños.
pistasolución 1info
Pista. Observa que $10N-N'=9999a$ es múltiplo de $n$.
Solución. Sea $n$ un número $n$-malagueño. Como $n\lt 1000$, necesariamente $n$ tiene un múltiplo de cuatro dígitos $N=\overline{abcd}$ cuyo primer dígito es $a=1$. Observando que
\[N'=10N+a-10000a=10N-9999\]
y que tanto $N$ como $N'$ son múltiplos de $n$, también debe serlo $9999$. Esto nos dice que todo número $4$-malagueño debe ser un divisor de $9999=3^2\cdot 11\cdot 101$ menor que $1000$, lo que nos da las únicas posibilidades
\[n\in\{1,3,9,11,33,99,101,303,909\}.\]
Ahora bien, si $\overline{abcd}$ es múltiplo de $3$, $9$, $11$ o $101$, cualquier permutación circular también lo es (¿por qué?), luego todos los anteriores son números $4$-malagueños y hemos terminado.
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