Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Observando la factorización $4n^2+6n=2n(2n+3)$, es muy fácil encontrar la siguiente función y ver que cumple las tres condiciones: \[f(n)=\begin{cases} n+1&\text{si }n\text{ es par,}\\ n-1&\text{si }n\text{ es impar.} \end{cases}\] Vamos a probar que solo hay una función con las condiciones dadas, luego esta será la única. La condición (a) nos asegura que el valor de $f(n)$ para $n$ par determina los valores para $n$ impar. Además, nos permite reescribir las condiciones (b) y (c) como \[(f(2n)-1)f(2n+2)=4n^2+6n,\qquad f(2020)=2021.\] Está claro entonces que $f(2n)$ determina el valor de $f(2n+2)$ para todo $n\in\mathbb{N}$, luego $f(2020)$ determina el valor en todos los números pares mayores que $2020$. También $f(2n+2)$ determina el valor de $f(2n)$, luego $f(2020)$ determina el valor de $f$ en todos los pares menores que $2020$. Todo esto nos dice que hay una única función en esas condiciones.