Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Se pueden calcular algunos términos, pero rápidamente el resultado se dispara ya que la sucesión crece exponencialmente:\[x_1^2+1=5,\quad x_2^2+1=325,\quad x_3^2+1=136469125,\ldots\] Vamos a probar por inducción sobre $n$ que $x_n^2+1$ es múltiplo de $5^n$ pero no de $5^{n+1}$. Si probamos esto, tendremos que la solución al problema es $5^{2024}$. Está claro que el caso $n=1$ es cierto ya que $x_1^2+1=5$ es múltiplo de $5$ pero no de $25$. También es cierto si $n=2$ ya que $x_2^2+1=325$ es múltiplo de $25$ pero no de $125$. Supongamos que la propiedad es cierta para $n\geq 2$, lo que nos permite escribir $x_n^2+1=5^ny_n$, siendo $y_n$ no múltiplo de $5$. Entonces, para $x_{n+1}$ podemos desarrollar y simplificar \begin{align*}x_{n+1}^2+1&=(2x_n^3+x_n)^2+1=(4x_n^4+4x_n^2+1)x_n^2+1\\\\&=(4(5^ny_n-1)^2+4(5^ny_n-1)+1)(5^ny_n-1)+1\\\\&=4\cdot 5^{3n}y_n^3-8\cdot 5^{2n}y_n^2+5^{n+1}y_n\\\\&=5^{n+1}(4\cdot 5^{2n-1}y_n^3-8\cdot 5^{n-1}y_n^2+y_n).\end{align*}Este número es múltiplo de $5^{n+1}$ pero no de $5^{n+2}$ ya que el factor $4\cdot 5^{2n-1}y_n^3-8\cdot 5^{n-1}y_n^2+y_n$ es congruente con $y_n$ módulo $5$. Aquí estamos usando que $n\geq 2$ para asegurar que $5^{n-1}$ es múltiplo de $5$, es decir, en la inducción hemos tenido que comprobar dos casos iniciales.