Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos desarrollar la potencia usando el binomio de Newton si escribimos la base como $2010-1$. Además, trabajaremos módulo $1000$ porque solo nos van a interesar las tres últimas cifras. Tenemos que \[2009^{2011}\equiv 9^{2011}\equiv(10-1)^{2011}\equiv-1+\binom{2011}{1}\cdot 2010-\binom{2011}{2}\cdot 10^2.\] No tenemos que poner más términos del binomio porque a partir del siguiente nos quedan múltiplos de $1000$. De esta forma, podemos seguir desarrollando módulo $1000$ los números combinatorios para escribir finalmente: \[2009^{2011}\equiv -1+11\cdot 10+55\cdot 10^2\equiv-391\equiv 609.\] Por lo tanto, las tres últimas cifras son $609$ y concluimos que solo hay un cero que precede al nueve.

Nota. Si necesitáramos más cifras sólo habría que trabajar módulo una potencia de \(10\) más grande y añadir más términos al desarrollo del binomio. Esto quiere decir que no es relevante en el problema que solo haya que calcular tres dígitos.

Solución. Vamos a trabajar módulo $1000$ ya que solo nos van a interesar las tres últimas cifras. Vamos a usar el teorema de Euler-Fermat que nos dice que $a^{\varphi(n)}\equiv 1\ (\text{mod }n)$ si $a$ y $n$ son primos relativos y $\varphi(n)$ es la función de Euler. En nuestro caso, pondremos $a=9$ y $n=1000$, usando que $\varphi(1000)=\varphi(2^3\cdot 5^3)=2^2(2-1)\cdot 5^2(5-1)=400$. Por lo tanto, \[2009^{2011}\equiv 9^{2011}=(9^{400})^5\cdot 9^{11}\equiv 9^{11}\ (\text{mod }1000).\] Ahora bien, este último resto lo podemos calcular, observando que \[9^2\equiv 81\ (\text{mod }1000),\quad 9^3\equiv 729\ (\text{mod }1000)\] para luego calcular rápidamente \[9^{11}\equiv 9^3\cdot 9^3\cdot 9^3\cdot 9^2\equiv 729\cdot 729\cdot 729\cdot 81\equiv 609\ (\text{mod }1000).\] Aunque pueda parecer una cuenta larga, sólo nos tenemos que quedar con las últimas tres cifras en cada paso. Deducimos así que las tres últimas cifras de $2009^{2011}$ son $609$, con lo que la respuesta a la pregunta del enunciado es uno.