Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si intercambiamos dos de los lados, lo que hay dentro del valor absoluto cambia de signo, lo que nos da la idea de intentar sacar factores comunes de la forma $a-b$, $b-c$ y $c-a$. Observamos que \[\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}=\frac{ab+ac-b^2-bc+ab-ac+b^2-bc}{(a+b)(b+c)}=\frac{2b(a-c)}{(a+b)(b+c)}.\] Por tanto, tenemos que \begin{align*} \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}&=\left(\frac{2b}{(a+b)(b+c)}-\frac{1}{c+a}\right)(a-c)\\ &=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}. \end{align*} Si suponemos sin pérdida de generalidad que $a\geq b\geq c$, la desigualdad a demostrar es la siguiente sin valor absoluto ya que los factores del numerador son positivos: \[\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\lt\frac{1}{16}.\] Por un lado, la desigualdad triangular nos dice que $a\lt b+c$, lo que nos sirve para estimar $a$ en el numerador. Por otro lado, tenemos que $a\gt b$ nos da una forma de estimar $a$ en el denominador. Juntando estas dos estimaciones, llegamos a que \[\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\lt\frac{bc(b-c)}{2b(b+c)^2}=\frac{(\frac{b}{c}-1)}{2(\frac{b}{c}+1)^2}.\] Tomamos ahora la función $f(x)=\frac{x-1}{2(x+1)^2}$, definida para todo $x\geq 1$ (ya que $\frac{b}{c}\geq 1$). Será suficiente ver que su máximo es menor o igual que $\frac{1}{16}$. Tenemos que su derivada $f'(x)=\frac{3-x}{2(x+1)^3}$ es positiva en $[1,3)$ y negativa en $(3,+\infty)$, luego $f(x)$ crece estrictamente desde $f(1)=0$ hasta $f(3)=\frac{1}{16}$ y luego decrece. Esto concluye la demostración.

Nota. La cota $\frac{1}{16}$ parece no ser óptima.