Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Como la circunferencia inscrita es tangente al lado $CA$ en $F$, el radio $IF$ es perpendicular a $CA$, luego el triángulo $AFI$ (sombreado en azul) es rectángulo. El segmento $FM$ es una de sus alturas, con lo que $FMI$ es semejante a $AFI$ y esto nos da la relación $\frac{AF}{AM}=\frac{AI}{AF}$, luego $AF^2=AI\cdot AM$. Ahora bien, por la potencia respecto de la circunferencia inscrita, se tiene también que $AF^2=AP\cdot AD$ y, por tanto, $AP\cdot AD=AI\cdot AM$. Usando el recíproco de la propiedad de la potencia (del punto $A$), esto nos dice que $P,I,M,D$ están sobre la misma circunferencia (siempre que no estén alineados).

Nota. Los puntos están alineados cuando la bisectriz del ángulo $A$ pasa por el punto $D$, lo cual es equivalente a que el triángulo $ABC$ sea isósceles (con ángulo desigual en $A$).