Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $A,B,C,D$ a las cuatro regiones en que el cuadrado queda dividido por las dos rectas, que llamaremos $r$ y $s$, como indica la figura superior. También supondremos que $A$, $B$ y $C$ son las regiones que tienen área $1$. Consideraremos la rotación de $90^\circ$ con centro en el centro $O$ del cuadrado y denotaremos por $A',B',C',D'$ a las regiones rotadas y por $r'$ y $s'$ a las rectas rotadas.

La región rotada $A'\cup B'$ tiene área $2$ y está delimitada por $r'$, mientras que $B\cup C$ está delimitada por $s$ paralela a $r'$ y también tiene área $2$. Para que esto ocurra, debe ser necesariamente $r'=s$ (en caso contrario, $A'\cup B'$ estaría estrictamente contenida en $B\cup C$ o viceversa, luego no podrían tener la misma área). Por un argumento similar, la región $B'$ debe coincidir con $C$ para que ambas tengan área $1$ (si no, $B'$ estaría estrictamente contenida en $C$ o viceversa). Por lo tanto, el punto de intersección de $r$ y $s$ debe ser el centro de rotación $O$. Tenemos así que $A,B,C,D$ son congruentes mediante rotaciones respecto de $O$ y tienen todas área $1$.