Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos en primer lugar que $x_i$ e $x_{i+1}$ tienen el mismo número de cifras y supongamos que es impar, pongamos $2n+1$, con $n\geq 1$ (el caso de números de una cifra nos da diferencia $x_{i+1}-x_i=1$, que no es primo). Entonces, podemos escribir \[x_i=a_1a_2\ldots a_na_{n+1}a_n\ldots a_2a_1.\] Por lo tanto, $x_i$ está determinado por el número $m=a_1a_2\ldots a_na_{n+1}$ formado por las $n+1$ cifras más significativas. El siguiente número capicúa $x_{i+1}$ tiene una estructura similar pero tiene número asociado $m+1$. Si se cumple que alguno de los dígitos $a_2,\ldots,a_{n+1}$ es distinto de $9$, entonces $m+1$ y $m$ tienen el mismo dígito inicial $a_1$ (que también es el dígito de las unidades de $x_{i+1}$ y $x_i$), por lo que $x_{i+1}-x_i$ es múltiplo de $10$ y no es primo. Supongamos ahora que a_2=\ldots=a_{n+1}=9$, luego $x_i=a_199\ldots99a_1$ y $x_{i+1}=(a_1+1)00\ldots00(a_1+1)$. En consecuencia, en este caso tenemos que $x_{i+1}-x_i=11$, que sí es primo.

Si ahora $x_i$ y $x_{i+1}$ tienen el mismo número de cifras y este número es par $2n$, con $n\geq 2$ (el caso $n=2$ nos da claramente el primo $11$), el razonamiento es similar tomando $m=a_1a_2\ldots a_n$ el número formado por las $n$ cifras más significativas.

Finalmente, si $x_i$ y $x_{i+1}$ tienen distinto número de cifras, entonces $x_i=999\ldots 99$ y $x_{i+1}=1000\ldots 01$, que tienen diferencia $2$ unidades. Deducimos así que los únicos primos que se pueden expresar de esta forma son $2$ y $11$.