Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Escribamos las tres raíces como $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$. Desarrollando \[(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\] podemos identificar coeficientes para obtener las relaciones de Cardano-Vieta $a=-(\alpha+\beta+\gamma)$ y $b=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$. Con esto podemos calcular \begin{align*} a^2-3b&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\ &=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha\\ &=\tfrac{1}{2}\left((\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2\right)\geq 0. \end{align*}

Solución. Si $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$ tiene tres soluciones reales distintas, entonces su derivada debe anularse al menos dos veces por el teorema de Rolle (debe tener un máximo/mínimo entre cada par de raíces. Esto también es verdad si hay una raíz doble y otra simple ya que debe anularse entre ambas raíces y en la raíz doble. En el caso de tener una raíz triple, su derivada debe tener una raíz doble en dicho punto. Todo esto nos dice que la derivada $p'(x)=3x^2+2ax+b$ debe tener discriminante no negativo, pero dicho discriminante es $(2a)^2-4\cdot 3\cdot b=4(a^2-3b)$, de donde se deduce que debe ser $a^2\geq 3b$.