Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La primera condición nos dice que $f$ es su propia inversa, luego $f$ es biyectiva. Ahora bien, si suponemos por reducción al absurdo que $f(f(n)+1)=2$, entonces $n$ no puede ser impar ya que entonces $2=n+3$ y tendríamos $n=-1\not\in\mathbb{N}$; tampoco puede ser par ya que entonces $2=n-1$ y tendríamos $n=3$, que en realidad es impar. Por ser $f$ biyectiva, debe existir un único $n_0\in\mathbb{N}$ tal que $f(n_0)=2$ pero entonces hemos vismo que $n_0\neq f(n)+1$ para ningún $n\in\mathbb{N}$. Usando la sobreyectividad de $f$, el término $f(n)+1$ toma todos los valores enteros mayores que $1$, luego sólo queda la posibilidad $n_0=1$. Tenemos así demostrada la pista que nos da el propio enunciado y que nos va a servir para resolver el problema.

Haciendo el cambio $n\mapsto f(n)$ en la segunda condición, tenemos que \[f(n+1)=f(f(f(n))+1)=\begin{cases}f(n)+1&\text{si }n\text{ es par},\\f(n)+3&\text{si }n\text{ es impar}.\end{cases}\] De esta forma, los valores de $f(n)$ decrecen 1 y aumentan 3 cíclicamente cuando $n$ se incrementa en una unidad. Por tanto, cuando $n$ avanza 2 unidades, $f(n)$ también se incrementa también en 2 unidades, independientemente de que $n$ sea par o impar. De esta forma, llegamos a que $f(2k+2)=2k+f(2),\qquad f(2k+1)=2k+f(1)$. Como quiera que $f(1)=2$ y $f(2)=f(f(1))=1$, tenemos que $f$ disminuye en una unidad los números pares y aumenta en una unidad a los impares, es decir, la única posible función que cumple las condiciones del enunciado es \[f(n)=\begin{cases}n-1&\text{si }n\text{ es par},\\n+1&\text{si }n\text{ es impar}.\end{cases}\] Es fácil comprobar que de verdad esta función cumple las condiciones.

Nota. En realidad, este problema nos obliga a usar la pista ya que nos dice observando previamente que... Aun así, es esperable que si alguien encuentra otra forma de resolverlo sin usar la pista, debería otorgarse la puntuación completa.