Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que el centro es azul (se razona igual si fuera rojo, cambiando los colores) y vamos a razonar que simpres existen tres puntos alineados del mismo color. La idea es intentar colocar los colores para que esto no ocurra y llegando forzosamente a que ha de ocurrir. Observemos que al menos uno de los centros de cada par de caras opuestas es rojo, luego debe tres caras $C_1,C_2,C_3$ cuyos centros son rojos y estas caras deben tener un vértice común, llamémoslo $V$. Distinguimos dos casos según el color de $V$:

• Si $V$ es rojo, los vértices opuestos a $V$ en $C_1,C_2,C_3$ deben ser azules y, como el centro del cubo también es azul, los otros vértices de $C_1,C_2,C_3$ deben ser rojos. Esto nos dice que hay diagonales de $C_1,C_2,C_3$ cuyas tres casillas son rojas.
• Si $V$ es azul, distinguimos a su vez dos subcasos:
  • Si la casilla medias $M_{12}$ de la arista común a $C_1$ y $C_2$ es roja, completando casillas para que no haya tres alineados, se llega fácilmente a un callejón sin salida.
  • Por tanto, podemos suponer que las casillas medias $M_{12}$, $M_{23}$ y $M_{13}$ deben ser azules con un razonamiento similar. Completando de nuevo casillas para que no haya tres del mismo color alineadas, se llega a una situación sin salida de nuevo.

Nota. Este problema nos dice que jugar a las tres en raya en un tablero tridimensional nunca conduce a empates, al contrario de lo que pasa en el tablero clásico bidimensional. ¿Sabrías encontrar una estrategia ganadora para este juego tridimensional?