Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 682
En el triángulo $ABC$, la bisectriz trazada desde $A$ divide al lado opuesto en dos segmentos, de los que conocemos uno: $BT = 572\mathrm{m}$. Si dicha bisectriz corta a la mediana $BM$ en los segmentos $BD = 200\mathrm{m}$ y $DM = 350\mathrm{m}$, calcula el lado $a$ de dicho triángulo y plantea una ecuación con incógnita $c$ para obtener el lado $c$ (no hace falta calcularlo explícitamente).
pistasolución 1info
Pista. Aplica el teorema de la bisectriz a dos triángulos. Aplica también la fórmula de la longitud de la mediana en términos de los lados.
Solución. Aplicando el teorema de la bisectriz a $ABC$, tenemos que
\[\frac{572}{c}=\frac{BT}{AB}=\frac{CT}{AC}=\frac{a-572}{b}.\]
Aplicando el mismo teorema a $ABM$, tenemos que
\[\frac{200}{c}=\frac{BD}{AB}=\frac{DM}{AM}=\frac{350}{b/2}=\frac{700}{b}.\]
Podemos entonces despejar $a$ como
\[a=572+\frac{572b}{c}=572+\frac{572\cdot 700}{200}=2002\quad\text{(¡el año!)}.\]
Para responder a la otra pregunta, utilizaremos que ya hemos calculado $b=\frac{7}{2}c$ y la fórmula para la longitud de la mediana $BM$. Concretamente,
\[550^2=BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}=\frac{2002^2+c^2}{2}-\frac{49}{16}c.\]
Nota. Obviamente, la ecuación se puede resolver muy fácilmente aunque hay que hacer cálculos tediosos. El resultado es $c=\frac{44}{41}\sqrt{1019998}$.
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