Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pensemos en que tenemos que elegir 6 números de forma ordenada. Los casos posibles son $11\cdot 10\cdots 6=\frac{11!}{5!}$ (variaciones sin repetición). Para contar los casos favorables, vamos a dividirlos en tres subcasos dependiendo de que haya 1, 3 y 5 números impares entre los 6 números elegidos.

• El número de formas de elegir 6 números y que haya 1 impar y 5 pares es \[\binom{6}{1}\cdot [6]\cdot [5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1]=6\cdot 6!,\] ya que hay $\binom{6}{1}$ posiciones en las que colocar el impar, 6 posibles números impares (primer corchete) y $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ posibles elecciones ordenadas de los 5 pares (segundo corchete).
• El número de formas de elegir 6 números y que haya 3 impares y 3 pares es \[\binom{6}{3}\cdot [6\cdot 5\cdot 4]\cdot [5\cdot 4\cdot 3]=200\cdot 6!,\] ya que hay $\binom{6}{3}$ posiciones en las que colocar los impares, $6\cdot 5\cdot 4$ elecciones de impares y $5\cdot 4\cdot 3$ elecciones de pares.
• El número de formas de elegir 6 números y que haya 5 impares y 1 pares es \[\binom{6}{5}\cdot [6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2]\cdot [5]=30\cdot 6!,\] por un razonamiento similar a los casos anteriores.

La probabilidad que buscamos se puede calcular como casos favorables entre casos posibles, lo que nos da \[\frac{(6+200+30)6!}{\frac{11!}{5!}}=\frac{118}{231}.\]