Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Sean $x_1,x_2,\ldots,x_{14}$ los números y $S$ su suma. La condición del enunciado nos dice que podemos escribir $S-x_i=3S_i$, siendo $S_i$ la suma de cada uno de los montones en que se dividen los 13 números que resultan al quitar $x_i$. Si sumamos las igualdades $S-x_i=3S_i$ para $1\leq i\leq 14$, obtenemos \[13S=14S-S=3(S_1+\ldots+S_{14}).\] Como $13$ es primo relativo con $3$, deducimos que $S$ es múltiplo de $3$, luego $x_i=S-3S_i$ también lo es y hemos respondido así al apartado (a).

Para responder al apartado (b), comenzamos dividiendo todos los $x_i$ entre 3 y observamos que los números resultantes también cumplen la propiedad (los $S_i$ se dividen entre 3 también), luego el apartado (a) nos dice que deben seguir siendo múltiplos de 3 y esto lleva a que cualquier potencia de $3$ debe dividir a todos los $x_i$, lo que no deja más posibilidad que la de que todos los $x_i$ sean cero.

Nota. La misma demostración del apartado (b) se puede reescribir mediante descenso infinito.