Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 685
En un triángulo acutángulo $ABC$, $AH$, $AD$ y $AM$ denotan, respectivamente, la altura, la bisectriz y la mediana que parten desde $A$, estando $H$, $D$ y $M$ en el lado $BC$. Si las longitudes de $AB$, $AC$ y $MD$ son, respectivamente, $11$, $8$ y $1$, calcula la longitud del segmento $DH$.
pistasolución 1info
Pista. Utiliza el teorema de Pitágoras para relacionar $BH$ y $CH$ y el teorema de la bisectriz para relacionar $BD$ y $CD$.
Solución. El teorema de la bisectriz nos dice que $\frac{BD}{11}=\frac{DC}{8}$. Ahora podemos usar que $BD=BM+1$, $CD=CM-1$ y $BM=CM=\frac{a}{2}$ para obtener la siguiente ecuación de primer grado con incógnita el lado $a=BC$, que se resuelve fácilmente:
\[\frac{\frac{a}{2}+1}{11}=\frac{\frac{a}{2}-1}{8}\ \Longleftrightarrow\ a=\frac{38}{3}.\]
El teorema de Pitágoras en $ABH$ y $ACH$ nos da $8^2-CH^2=AH^2=11^2-BH^2$, luego \[(BH+CH)(BH-CH)=BH^2-CH^2=11^2-8^2=57.\] Como $BH+CH=a=\frac{38}{3}$, obtenemos que $BH-CH=57/\frac{38}{3}=\frac{9}{2}$. Esta ecuación junto con $BH+CH=\frac{38}{3}$ nos da un sistema lineal cuya solución es $BH=\frac{103}{12}$ y $CH=\frac{49}{12}$. Por otro lado, podemos calcular $CD=\frac{a}{2}-1=\frac{16}{3}$. Finalmente, todo esto nos dice que $DH=CD-CH=\frac{16}{3}-\frac{49}{12}=\frac{5}{4}$.
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