Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Vamos a demostrar que el resultado es también cierto con 6 puntos viendo que si los segmentos que determinan solo tuvieran dos longitudes distintas, entonces llegaríamos a una imposibilidad. En primer lugar, veremos que tres de los segmentos forman un triángulo equilátero. Si fijamos un vértice $P_0$ cualquiera y consideramos los cinco segmentos que salen de él, habrá tres de ellos, $P_0P_1,P_0P_2,P_0P_3$ con la misma longitud por el principio del palomar. Si alguno de los segmentos $P_1P_2$, $P_2P_3$ o $P_3P_1$ tiene también la misma longitud, entonces se forma el triángulo equilátero junto con $P_0$. En caso contrario, $P_1P_2$, $P_2P_3$ y $P_3P_1$ tendrán los tres la otra longitud posible, luego $P_1P_2P_3$ será el triángulo equilátero.

Pongamos entonces que tenemos el triángulo equilátero y llamamos a sus vértices $V_1,V_2,V_3$. Cualquier otro de los 6 puntos tendrá la misma distancia a dos de estos vértices por el principio del palomar, luego estará en una de las mediatrices del triángulo equilátero. De hecho, hay exactamente cuatro puntos $V$ de la mediatriz de $V_1V_2$ tales que $\{V_1,V_2,V_3,V\}$ definen solo dos distancias, que están representados en la figura: el punto azul (circuncentro), los puntos rojo y amarillo (a distancia de $V_3$ igual al lado del triángulo equilátero) y el verde (simétrico de $V_3$ respecto de $V_1V_2$). Haciendo lo mismo con las otras mediatrices, tenemos solo 10 posibles puntos de donde elegir los 3 que nos quedan por poner. No es difícil descartar todas las posibilidades, teniendo en cuenta lo siguiente (se deja como ejercicio completar los detalles):

• No puede haber tres puntos alineados (salvo que uno sea el punto medio de los otros dos). Esto descarta que el punto azul pueda ser uno de los 3 puntos restantes.
• Si hay dos puntos del mismo color, entonces estos junto con dos de los vértices $V_1,V_2,V_3$ forman un trapecio y definen al menos tres distancias distintas. Si consideráramos 7 puntos en lugar de 6 ya podríamos terminar aquí porque al no ser el azul uno de ellos, en alguno de los otros dos colores habría al menos dos de los cuatro puntos restantes por el principio del palomar,
• Los tres puntos restantes tendrían que ser entonces un punto verde, otro rojo y otro amarillo, no alineados. Sólo hay una posible elección salvo movimientos rígidos. En este caso también tenemos muchas distancias distintas: el lado del triángulo, la distancia verde-amarillo y la distancia amarillo-vértice.

Nota. El resultado no es cierto con 5 puntos. Por ejemplo, los vértices de un pentágono regular definen 10 segmentos de solamente dos longitudes distintas: la del lado y la de la diagonal.