Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Los números $a,b,c$ sólo pueden tener al 7 como factor primo, luego podemos escribir $a=7^x$, $b=7^y$ y $c=7^z$, lo que nos permite escribir $7^{39}=abc=7^x7^y7^z=7^{x+y+z}$. Por tanto, el problema equivale a encontrar las ternas $(x,y,z)$ de enteros mayores o iguales que $1$ tales que $x+y+z=39$. Observamos que $x$ debe estar entre $1$ y $37$ y, para cada valor de $x$, hay $38-x$ pares $(y,z)$ tales que $y+z=39-x$, que vienen dados por \[(1,38-x),(2,37-x),(3,36-x),\qquad (38-x,1).\] Por tanto, el número de soluciones es \[\sum_{x=1}^{37}(38-x)=37+36+35+\ldots+1=\frac{37\cdot 38}{2}=703.\]

Nota. El problema también se puede resolver mediante combinaciones con repetición usando separadores. Expresando $x=1+x'$, $y=1+y'$ y $z=1+z'$, tenemos que encontrar la cantidad de ternas $x',y',z'\geq 0$ tales que $x'+y'+z'=36$, lo que equivale a elegir dos separadores en una lista de $36+2=38$ elementos, esto es, el número de soluciones es \[\binom{38}{2}=\frac{38\cdot 37}{2}=703.\]