Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. En un polígono regular de 21 lados hay 10 distancias posibles entre vértices ya que los 20 segmentos que salen de un vértice concreto tienen longitudes iguales por parejas simétricas. Por tanto, si elegimos $n\geq 6$ o más vértices, tendremos $\binom{n}{2}\geq\binom{6}{2}=15$ segmentos entre ellos y la respuesta será negativa. La pregunta es si se puede con 5 vértices, que definen justamente $\binom{5}{2}=10$ segmentos, es decir, ¿existen 5 vértices del 21-ágono regular tales que todas sus distancias son distintas? La respuesta es que sí, como se muestra en la figura.