Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Expresamos todo en términos del seno y el coseno, teniendo en cuenta las definiciones de las funciones trigonométricas \begin{align*} \mathrm{tg}(x)&=\frac{\mathrm{sen}(x)}{\mathrm{cos}(x)},& \mathrm{cotg}(x)&=\frac{\mathrm{cos}(x)}{\mathrm{sen}(x)},\\ \sec(x)&=\frac{1}{\mathrm{cos}(x)},& \mathrm{cosec}(x)&=\frac{1}{\mathrm{sen}(x)}. \end{align*} Utilizando también la identidad fundamental $\mathrm{sen}^2(x)+\cos^2(x)=1$, podemos transformar la ecuación inicial como sigue: \begin{align*} -3&=\frac{1}{\mathrm{sen}^2(x)}-\frac{1}{\cos^2(x)}-\frac{\mathrm{sen}^2(x)}{\mathrm{cos}^2(x)}-\frac{\mathrm{cos}^2(x)}{\mathrm{sen}^2(x)}-\mathrm{sen}^2(x)-\cos^2(x)\\ &=\frac{\cos^2(x)-\mathrm{sen}^2(x)-\mathrm{sen}^4(x)-\cos^4(x)}{\mathrm{sen}^2(x)\cos^2(x)}-1\\ &=\frac{\cos^2(x)-\mathrm{sen}^2(x)-\mathrm{sen}^2(x)(1-\cos^2(x))-\cos^2(x)(1-\mathrm{sen}^2(x))}{\mathrm{sen}^2(x)\cos^2(x)}-1\\ &=\frac{-2\mathrm{sen}^2(x)+2\mathrm{sen}^2(x)\cos^2(x)}{\mathrm{sen}^2(x)\cos^2(x)}-1=\frac{-2}{\cos^2(x)}+1 \end{align*} Por tanto, podemos escribir finalmente nuestra ecuación como $\cos(x)=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$, lo que nos da las soluciones $x=45$, $x=135$, $x=225$ y $x=315$ en el intervalo $[0,360]$. El resto de soluciones se obtienen sumando a estas un múltiplo entero de $360$.

Si dividimos $2003$ entre $360$, obtenemos cociente $5$ y resto $203$, es decir, $2003^\circ$ consiste en dar 5 vueltas a la circunferencia goniométrica y añadir $203^\circ$, lo que nos da la solución más cercana $5\cdot 360^\circ+225^\circ=2025^\circ$ y esta es la respuesta buscada.