Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Pongamos que las raíces del polinomio son $\alpha,\beta,\gamma$, luego podemos expresar \[p(x)=x^3+Bx^2+Cx+D=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma).\] Desarrollando e igualando coeficientes, obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta para este polinomio. Concretamente, tenemos que \[B=-(\alpha+\beta+\gamma),\quad C=\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma,\quad D=\alpha\beta\gamma.\] Si imponemos la condición del enunciado de que $\alpha\beta=\gamma^2$, podemos entonces calcular \begin{align*} C^3=(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)^3&=(\gamma^2+\beta\gamma+\alpha\gamma)^3\\ &=\gamma^3(\alpha+\beta+\gamma)^3=-\alpha\beta\gamma B^3=DB^3. \end{align*}