Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si llamamos $x=BD$ e $y=AD$, tenemos claramente que $x+y=c$ y, por el teorema de la bisectriz, también que $\frac{x}{b}=\frac{y}{c}$. Esto nos da un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas $x$ e $y$, que se resuelve fácilmente, dando \[x=\frac{ac}{a+b},\qquad y=\frac{bc}{a+b}.\] El teorema del seno en los triángulos $ACD$ y $ABC$ nos dice que \[\frac{\mathrm{sen}(\frac{C}{2})}{y}=\frac{\mathrm{sen}(A)}{CD}=\frac{a\,\mathrm{sen}(C)}{c\cdot CD}.\] De aquí podemos despejar \[CD=\frac{ay\,\mathrm{sen}(C)}{c\,\mathrm{sen}(\frac{C}{2})}=\frac{2a\frac{bc}{a+b}\,\mathrm{sen}(\frac{C}{2})\cos(\frac{C}{2})}{c\,\mathrm{sen}(\frac{C}{2})}=\frac{2ab\cos(\frac{C}{2})}{a+b},\] donde hemos usado la fórmula del seno del ángulo doble $\mathrm{sen}(C)=2\mathrm{sen}(\frac{C}{2})\cos(\frac{C}{2})$.