Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Para que los productos sean iguales, es fácil darse cuenta de que si en el tablero hay algún número divisible entre un primo $p$ pero ninguno entre $p^2$, hay un único patrón de casillas donde puede aparece el primo $p$, que están indicadas en la siguiente tabla: \[\begin{bmatrix}p&\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&p&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&p\\ \cdot&p&\cdot&\cdot\end{bmatrix}.\] Cuando decimos que es único, debe entenderse salvo rotaciones y simetrías. En este patrón, hay una única casilla marcada con el primo $p$ en cada fila, en cada columna y en cada diagonal principal. Ahora el truco es replicar el patrón con los primos $2,3,5,7,11,13,\ldots$, rotándolo y simetrizándolo para que, al multiplicar los resultados, se cumplan las siguientes dos condiciones:

• Todas las casillas tienen valores distintos.
• Ninguna casilla sobrepasa $99$.

Probando un poco (ver la nota), llegamos a la configuración de la siguiente tabla, lo que da una respuesta afirmativa al problema: \[\begin{bmatrix}2\cdot 3&5&7\cdot 11&13\\ 11&7\cdot 13&2\cdot 5&3\\ 5\cdot 13&3\cdot 11&1&2\cdot 7\\ 7&2&3\cdot 13&5\cdot 11\end{bmatrix}\equiv \begin{bmatrix} 6&5&77&13\\ 11&91&10&3\\ 65&33&1&14\\ 7&2&39&55 \end{bmatrix}\]

Nota. Para conseguir la configuración final, hemos puesto los dos primos menores ($2$ y $3$) en la misma esquina con configuraciones simétricas, los dos siguientes ($5$ y $7$) en la esquina opuesta y $11$ y $13$ en las otras dos esquinas. Al hacer esto, obteníamos en una casilla el número $11\cdot 13$, que se pasaba de $100$, pero hemos podido resolver el problema intercambiando los papeles del $7$ y el $11$.