Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Vamos a denotar por $p_{X,Y}$ a la probabilidad de que gane el jugador $X$ cuando va a hacer su tirada el jugador $Y$. Observamos que cuando tira un jugador, tiene una probabilidad de ganar directamente $\frac{1}{6}$ y los otros $\frac{5}{6}$ son su probabilidad de ganar una vez le toca al siguiente. De esta forma, tenemos los siguientes tres sistemas de ecuaciones lineales para las nueve probabilidades que desconocemos: \[\left\{\begin{array}{l}p_{A,A}=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}p_{A,B}\\p_{A,B}=\frac{5}{6}p_{A,C}\\p_{A,C}=\frac{5}{6}p_{A,A}\end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{l}p_{B,A}=\frac{5}{6}p_{B,B}\\p_{B,B}=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}p_{B,C}\\p_{B,C}=\frac{5}{6}p_{B,A}\end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{l}p_{C,A}=\frac{5}{6}p_{C,B}\\p_{C,B}=\frac{5}{6}p_{C,C}\\p_{C,C}=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}p_{C,A}\end{array}\right.\] Esto responde al diagrama indicado en la figura más abajo. En realidad, los tres sistemas lineales son el mismo (renombrando las incógnitas) y se pueden resolver fácilmente: \[\left\{\begin{array}{l}p_{A,A}=\frac{36}{91}\\p_{A,B}=\frac{25}{91}\\p_{A,C}=\frac{30}{91}\end{array}\right.\qquad \left\{\begin{array}{l}p_{B,A}=\frac{30}{91}\\p_{B,B}=\frac{36}{91}\\p_{B,C}=\frac{25}{91}\end{array}\right.\qquad \left\{\begin{array}{l}p_{C,A}=\frac{25}{91}\\p_{C,B}=\frac{30}{91}\\p_{C,C}=\frac{36}{91}\end{array}\right.\] Al empezar jugando $A$ la probabilidad que tiene de ganar es $\frac{36}{91}$, mientras que la probabilidad de $B$ es $\frac{30}{91}$ y la de $C$ es $\frac{25}{91}$. Si Carlos apuesta 1€, entonces Blas tiene que apostar $\frac{30}{25}=1.2$€ y Ana tiene que apostar $\frac{36}{25}=1.44$€ (la apuesta tiene que ser proporcional a la probabilidad de ganar si queremos que el juego sea equitativo).

Nota. Este esquema para calcular probabilidades, aunque puede parecer sofisticado, es un método establecido en matemáticas conocido como cadenas de Markov. Si quisiéramos hacer un árbol con todas las posibilidades, sería infinito ya que podría ocurrir que nunca nadie saque un $6$. De esta manera, se entiende mucho mejor la logística del juego.