Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La función \(f\) es sobreyectiva ya que en la ecuación funcional el miembro de la derecha toma todos los valores enteros al mover \(x\) e \(y\). Por tanto, existe \(y_0\) tal que \(f(y_0)=0\) y, sustituyendo \(y=y_0\) en la ecuación, tenemos que \(y_0=0\), de donde \(f(0)=0\). Haciendo ahora \(x=0\) en la ecuación, se tiene que \(f(f(y))=-y\), lo que prueba que \(f\) es inyectiva ya que si \(f(a)=f(b)\) para ciertos \(a,b\in\mathbb{Z}\), entonces \(-a=f(f(a))=f(f(b))=-b\) y \(a=b\). Dado \(a\in\mathbb{Z}\) tal que \(f(a)=1\) y sustituyendo \(y=a\) en la ecuación original, tenemos que \(f(x+1)=f(x)-a\) para todo \(x\in\mathbb{Z}\), de donde se deduce que \(f(x)=f(0)-ax=-ax\) y, por tanto, \(a=\pm 1\) ya que si \(a\neq\pm1\), entonces \(f\) no sería inyectiva. En consecuencia, las únicas posibilidades para \(f\) son \(f(x)=x\) y \(f(x)=-x\) para todo \(x\in\mathbb{Z}\). Como ninguna de estas dos funciones cumple la ecuación del enunciado, deducimos que no existen tales funciones.