Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Tenemos que $3^{2004}=9^{1002}=(10-1)^{1002}$. Por lo tanto, podemos desarrollar por el binomio de Newton \[3^{2004}=1-\binom{1002}{1}\cdot 10+\binom{1002}{2}\cdot 10^2-\binom{1002}{3}\cdot 10^3+\ldots\] Todos los términos a partir de los puntos suspensivos van multiplicados por una potencia de $10$ de exponente mayor que $3$, luego no afecta a las cuatro últimas cifras. Ahora bien, tenemos que \begin{align*} \binom{1002}{1}&=1002,\quad \binom{1002}{2}=\frac{1002\cdot 1001}{2}=501\cdot 1001,\\ \binom{1002}{3}&=\frac{1002\cdot 1001\cdot 1000}{6}=167\cdot 1001\cdot 1000. \end{align*} Si hacemos estos productos fijándonos solo en las últimas cifras, tenemos que las dos últimas cifras de $\binom{1002}{2}$ son $01$ y la última de $\binom{1002}{3}$ es $0$, con lo que las cuatro últimas cifras de $3^{2004}$ son las mismas que las de $1-20+100-0=81$, es decir, la respuesta es $0081$.