Olimpiadas de Matemáticas
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Diremos que una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ es circular si para cada $p\in\mathbb{N}$ existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $n\leq p$ y $f^n(p)=p$. Diremos que $f$ tiene grado de repulsión $k$, $0\lt k\lt 1$, si para cada $p\in\mathbb{N}$, se tiene que $f^i(p)\neq p$ para todo $i\leq\lfloor kp\rfloor$. Determinar el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular.

Nota. Se define $f^k(p)$ como aplicar $k$ veces $f$ a $p$, es decir, $f^1(p)=f(p)$ y $f^k(p)=f(f^{k-1}(p))$ para $k\geq 2$. Por otro lado, $\lfloor x\rfloor$ representa la parte entera de un número real $x$.