Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Los dos triángulos $AHM$ y $CMB$ son congruentes por ser rectángulos y tener los catetos iguales (son iguales a los lados de los cuadrados). Además, podemos pasar de $AHM$ a $CMB$ mediante una rotación de $90^\circ$ con centro en $M$, luego la recta $AH$ (en rojo discontinuo) es perpendicular a $BC$. Ahora bien, la recta $BC$ también es perpendicular a $AN$ ya que $AC$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita al cuadrado $AMCD$. Por tanto $AN$ y $AH$ son la misma recta, es decir, $A$, $H$ y $N$ están alineados. Respondemos ahora a las dos cuestiones:

1. El ángulo $\angle HNB$ es recto ya que $HB$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita al cuadrado $MBEH$. Por tanto, tanto $\angle HNB$ como $\angle HNC$ son rectos, lo que nos dice que $B$, $N$ y $C$ están alineados.
2. Con lo ya demostrado, tenemos que $AN$ es la altura que pasa por $A$ en el triángulo $ABC$ y es obvio que $CM$ es la altura que pasa por el vértice $C$. Su intersección es $H$ y, por consiguiente, $H$ es el ortocentro de $ABC$.